En août 1914, âgé de 18 ans, Henri Monnet devance l'appel pour participer à la première guerre mondiale. Il est envoyé à Verdun puis au Chemin des Dames, où sa conduite lui vaut de recevoir la croix de guerre 1914-1918. Démobilisé en juin 1919, il termine ses études et entame une carrière dans le secteur bancaire avant de devenir conseiller juridique en 1930.
Lorsque la seconde guerre mondiale éclate, il sert comme officier au 308e régiment d'artillerie. L'armistice signé, il revient à ses activités professionnelles. Mais en 1941, il rejoint la Résistance. Il participe alors au lancement du bataillon de guérilla de l'Armagnac, affilié au mouvement « Combat ».
En septembre 1944, en étroite relation avec le réseau Buckmaster, il prend le commandement du 158e régiment d'infanterie, à la tête duquel il combat sur le front de l'Atlantique. Pour ces faits d'armes, Henri Monnet recevra la croix de guerre 1939-1945 et la médaille de la Résistance.
A la Libération, il est chargé de la démobilisation des FFI par le général de Gaulle. Ayant mené à bien sa mission, il se voit confier la préparation des élections à la seconde Assemblée nationale constituante, auxquelles il se présente sans succès dans les Landes. En revanche, il est élu conseiller de la République de ce département en décembre 1946 et siège au sein du Rassemblement des gauches républicaines. Il est nommé à la commission de la défense nationale et à celle des finances.
Durant deux années, ses interventions publiques à la tribune de la Haute Assemblée portent essentiellement sur toutes les questions budgétaires et fiscales. Henri Monnet est battu aux élections de novembre 1948. Il quitte alors la vie politique pour poursuivre sa carrière professionnelle dans le domaine du conseil juridique.